https://hzmath.github.io/tags/femboys-dessert-house/Recent content in Femboy's Dessert House on 河源中学数学研究协会Hugo -- gohugo.iozh-cnSat, 28 Mar 2026 00:00:00 +0000https://hzmath.github.io/post/2026/03/%E6%88%91%E8%83%BD%E5%9C%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%80%89%E5%BF%85%E9%83%A8%E5%88%86%E5%8F%AA%E7%9C%8B%E4%BA%86%E7%AC%AC%E4%B8%89%E5%86%8C%E7%9A%84%E6%83%85%E5%86%B5%E4%B8%8B%E5%AE%8C%E6%88%90%E5%85%A8%E9%94%99%E6%8E%92%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%8E%A8%E5%AF%BC%E5%90%97/Sat, 28 Mar 2026 00:00:00 +0000https://hzmath.github.io/post/2026/03/%E6%88%91%E8%83%BD%E5%9C%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%80%89%E5%BF%85%E9%83%A8%E5%88%86%E5%8F%AA%E7%9C%8B%E4%BA%86%E7%AC%AC%E4%B8%89%E5%86%8C%E7%9A%84%E6%83%85%E5%86%B5%E4%B8%8B%E5%AE%8C%E6%88%90%E5%85%A8%E9%94%99%E6%8E%92%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%8E%A8%E5%AF%BC%E5%90%97/<h2 id="导入">导入 </h2><p>我叫追风卡洛特，复姓追风，是河中的超气人<del>娼年</del>小南梁.</p> <p>为了让自己的腿子更健美，我今天约了同学，<strong>一共3个人去跑步</strong>.我们脱下校服放成一堆就上道了.跑完后， 每人随手抓了一件校服就穿上了，<strong>匆忙之下，所有人都没穿到自己的衣服</strong>.</p> <p><strong>请问，在此情况下一共有多少种穿衣服的方法？</strong></p> <p><strong>如果跑步的人一共是4人呢？5人呢？10000人呢？</strong></p> <h2 id="正片开始">正片开始 </h2><p>导入中描述的就是典型的<strong>全错排问题</strong>.首先，有$n$个元素进行排列，每个元素均有自己对应的位置，<strong>全错排问题</strong> 就是去研究所有元素都不排在原来所对应的位置的情况总数.例如，对于(1,2,3)的全错排情形，有(2,3,1),(3,1,2)共两种.</p> <p>下面，我们令$n$个元素的全错排排列总数为$a_n$，研究数列${a_n}$的通项公式.</p> <h3 id="基于容斥原理的归纳推导方法">基于容斥原理的归纳推导方法 </h3><p>全错排公式的推导一般有<strong>递推数列法</strong>和<strong>容斥原理法</strong>两种.但由于标题说了，选必部分我们只看了第三册，因此此处 采用容斥原理的方法.以$n=4$时的全错排为例.</p> <p>首先，我们需要采用一种<strong>正难则反</strong>的思想，即先将所有可能都算出来，再减去不合题意的情况.</p> <p>四种元素的排列共</p> $$ A_4^4=24 $$<p>种.</p> <p>接下来，<strong>容斥原理</strong>登场.这个原理，我愿称之为“加多了就减，减多了就加，加减交替，一步步地接近真实”.容易发现， 在4个元素的全部排列中，包含“有1个元素正确排列”的情况（按照容斥原理的逻辑，应从包含情况较多的集合开 始考虑），下面减去</p> $$ A_4^4-C_4^1A_3^3 $$<p>其中 $C_4^1$ 代表从4个元素中选出一个正确排列，$A_3^3$ 表示剩余3个元素任意排列.下文类似逻辑不再赘述.</p> <p>接着，容易发现，在“有1个元素正确排列”的情况中包含“有2个元素正确排列”的情况.也就是说，上面的操作“减多了”， 于是下面我们加回去</p> $$ A_4^4-C_4^1A_3^3+C_4^2A_2^2 $$<p>同理，在“有2个元素正确排列”的情况中包含“有3个元素正确排列”的情况&hellip;&hellip;以此类推，最终我们得出式子：</p> $$ A_4^4-C_4^1A_3^3+C_4^2A_2^2-C_4^3A_1^1+1 $$<p>最后的“1”，表示“4个元素全部排列正确”的情况。</p> <p>计算该式子，得出答案为<strong>9</strong>.</p> <p>列举4种元素的全错排方式如下</p> <p>(4,3,2,1),(4,1,2,3),(4,3,1,2),(3,4,1,2), (3,4,1,2),(2,4,1,3),(2,1,4,3),(3,1,4,2), (2,3,4,1)</p> <p>凡9种，与计算结果相符.</p> <p>此时，展开我们最后得到的式子，得到</p> $$ 4\times3\times2\times1-4\times3\times2+4\times3-4+1 $$<p>观察可以发现，多项式中的第一项是$4!$，此后每一项都比前一项少个“尾巴”.</p> <p>写成阶乘的形式，得到 </p> $$ \frac{4!}{0!}-\frac{4!}{1!}+\frac{4!}{2!}-\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{4!} $$<p> 不难发现，每一项的正负与该项分母的奇偶有关.所以又能写成 </p> $$ \sum_{i=1}^4 \frac{{(-1)^i}4!}{i!} $$<p> 事实上，对于$n$为其他正整数的情况，也能得到这种结构，读者可自行验证.</p> <p>于是我们得到全错排公式 </p> $$ \boxed{ a_n=\sum_{i=1}^n \frac{{(-1)^i}n!}{i!} } $$<p> 推导完毕！！！(ᕑᗢᓫ∗)</p> <h2 id="可能存在的疑问">可能存在的疑问 </h2><ul> <li>对于4个元素的全错排，3个元素排列正确就意味着4个元素排列正确，为什么重复计算？</li> </ul> <p>这个我认为是容斥原理的计算规则.我们在集合中使用容斥原理时，是按交集的个数递增的顺序计算的，像 $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$（$|X|$表示集合$X$中元素个数）.你可以画Venn图，每一个 圆圈代表一个元素的正确排列，就会发现其实我们要求的是“有元素正确排列”的情况，即所有集合的并集的元素个数. 由于针对集合的计算是正确的，所以即便有些集合是空集，算出来的结果也同样是符合真实状况的.</p> <ul> <li>我算出的情况重复了.</li> </ul> <p>应该的，你多次计算了交集的部分，后面减去就好了.</p> <p>更多疑问可致信河中数协官方邮箱<a class="link" href="mailto:hyzxmath@outlook.com" >hyzxmath@outlook.com</a>或者在下方评论区留言，小南梁会耐心为您解答♡</p>