组合数学问题：地砖涂色方案数

Sat, 04 Apr 2026 00:00:00 +0000

问题描述

有一行共 $n$ 个地砖，要涂黑色或白色。

我们将涂黑色记为 $+1$（向上走一步），涂白色记为 $-1$（向下走一步）。设坐标 $(k, y)$ 表示涂了 $k$ 块砖后，黑块数与白块数的差值为 $y$。

满足该条件的总涂法数为：

$$ A_n = \binom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} $$

这是一个经典的格路问题结论。所有从 $(0,0)$ 出发且不穿过 $x$ 轴下方的长度为 $n$ 的路径总数，等于二项式系数中的中间项。

设最终黑块数为 $B$，白块数为 $W$。

$$ \begin{cases} B + W = n \\ B - W = m \end{cases} \implies B = \frac{n+m}{2}, \quad W = \frac{n-m}{2} $$

由于 $B, W$ 必须为整数，因此 $n$ 和 $m$ 必须同奇偶（即 $n \equiv m \pmod 2$）。

当 $n \equiv m \pmod 2$ 时，合法路径数 = (无限制总路径数) - (触碰 $y=-1$ 的非法路径数)。

无限制总路径数：从 $(0,0)$ 到 $(n, m)$ 的路径数，需向上走 $\frac{n+m}{2}$ 步：
$$ N_{total} = \binom{n}{\frac{n+m}{2}} $$
非法路径数：根据反射原理，从 $(0,0)$ 出发且触碰 $y=-1$ 到达 $(n, m)$ 的路径数，等价于从 $(0, -2)$ 出发到达 $(n, m)$ 的路径数。此时需要的向上步数为 $\frac{n+(m+2)}{2} = \frac{n+m}{2} + 1$：
$$ N_{bad} = \binom{n}{\frac{n+m}{2} + 1} $$
最终公式：
$$ N(n, m) = \binom{n}{\frac{n+m}{2}} - \binom{n}{\frac{n+m}{2} + 1} $$
该公式也可化简为广义卡特兰数的形式：
$$ N(n, m) = \frac{m+1}{\frac{n+m}{2} + 1} \binom{n}{\frac{n+m}{2}} $$

条件	公式	备注
仅过程约束	$\displaystyle \binom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}$	适用于所有 $n \ge 1$
过程 + 终点约束	$\displaystyle \binom{n}{\frac{n+m}{2}} - \binom{n}{\frac{n+m}{2} + 1}$	仅当 $n \equiv m \pmod 2$ 时有效，否则为 0

假设 $n=4$：

仅过程约束： $$ \binom{4}{2} = 6 $$ 合法序列：BBBB, BBBW, BBWB, BWBB, BWBW, BBWW (注意：BWBW 是合法的，因为前缀和分别为 1, 0, 1, 0，从未小于 0)。
过程 + 终点 $m=2$ ($n, m$ 同偶)：需要 $B=3, W=1$。 $$ \binom{4}{3} - \binom{4}{4} = 4 - 1 = 3 $$ 合法序列：BBBW, BBWB, BWBB。 (非法序列：WBBB，因为第一步就变负了)。
过程 + 终点 $m=0$ ($n, m$ 同偶)：需要 $B=2, W=2$。 $$ \binom{4}{2} - \binom{4}{3} = 6 - 4 = 2 $$ 合法序列：BBWW, BWBW。 (非法序列：BWWB, WB…, 等)。