https://hzmath.github.io/tags/%E7%BA%A6%E7%91%9F%E5%A4%AB%E9%97%AE%E9%A2%98/Recent content in 约瑟夫问题 on 河源中学数学研究协会Hugo -- gohugo.iozh-cnWed, 22 Apr 2026 00:00:00 +0000https://hzmath.github.io/post/2026/04/%E4%BD%A0%E8%83%BD%E5%9C%A8%E7%BA%A6%E7%91%9F%E5%A4%AB%E7%9A%84%E5%B1%B1%E6%B4%9E%E9%87%8C%E6%B4%BB%E4%B8%8B%E6%9D%A5%E5%90%97/Wed, 22 Apr 2026 00:00:00 +0000https://hzmath.github.io/post/2026/04/%E4%BD%A0%E8%83%BD%E5%9C%A8%E7%BA%A6%E7%91%9F%E5%A4%AB%E7%9A%84%E5%B1%B1%E6%B4%9E%E9%87%8C%E6%B4%BB%E4%B8%8B%E6%9D%A5%E5%90%97/ <blockquote> <p>我的平分三角形问题呢？😡😡😡</p> <p>在做了在做了✋😭🤚</p> </blockquote> <h2 id="导入">导入 </h2><p>我叫追风卡洛特, 是河中的超气人<del>娼年</del>小南梁.</p> <p>今天我参加了一个节目. 节目现场共有1300人, 全部人围成一个大圈, 每个人站的位置有编号 $n,n=1,2,3, \cdots, 1300$. 游戏规则是这样的: 从1号位开始按顺时针方向 $1,2,1,2, \cdots$ 报数, 报到2的人自行出局, 如此循环, 直到剩下最后一个人. 留到最后的人赢得现场的一件礼品, 我看中了一条可爱的洛丽塔裙子😍😍😍🥰🥰🥰🤗🤗🤗😚😚😚🥺🥺🥺. 请问我该站在几号位才能获得礼品？</p> <h2 id="正片开始">正片开始 </h2><p>这里描述的是经典的<strong>约瑟夫问题</strong>.原问题表述如下:</p> <blockquote> <p>在罗马人占领乔塔帕特后, 39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中, 39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到, 于是决定了一个自杀方式, 41个人排成一个圆圈, 由第1个人开始报数, 每报数到第3人该人就必须自杀, 然后再由下一个重新报数, 直到所有人都自杀身亡为止. 然而Josephus 和他的朋友并不想遵从. 首先从一个人开始, 越过 $k-2$ 个人（因为第一个人已经被越过）, 并杀掉第 $k$ 个人. 接着, 再越过 $k-1$ 个人, 并杀掉第 $k$ 个人. 这个过程沿着圆圈一直进行, 直到最终只剩下一个人留下, 这个人就可以继续活着. 问题是, 给定了和, 一开始要站在什么地方才能避免被处决. Josephus 要他的朋友先假装遵从, 他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置, 于是逃过了这场死亡游戏.</p> </blockquote> <p>（我这个问题还简化了呢</p> <p>节目整这一出我也没招了. 迫于无奈, 小南梁打算在心里先列举.</p> <ul> <li>1个人时, 胜者在1号位；</li> <li><strong>2个人时, 胜者在1号位；</strong></li> <li>3个人时, 胜者在3号位；</li> <li><strong>4个人时, 胜者在1号位；</strong></li> <li>5个人时, 胜者在3号位；</li> <li>6个人时, 胜者在5号位；</li> <li>7个人时, 胜者在7号位；</li> <li><strong>8个人时, 胜者在1号位；</strong></li> <li>$\cdots$</li> <li><strong>16个人时, 胜者在1号位</strong></li> </ul> <p>这么一列举, 我们已经找到了规律: 当总人数为 $2^{n},(n\in \mathbb{N})$ 人时, 总是1号位的人赢得胜利.</p> <p>下面进行证明.</p> <h2 id="问题解决">问题解决 </h2><p>设现场有 $2^n$ 人 $(n\in \mathbb{N}^*)$</p> <p>经过一圈循坏后, 现场剩余 $2^{n-1}$ 人, 而此时, 依旧从1号位的人开始报&quot;1&quot;.于是我们可以认为开始了一场有 $2^{n-1}$ 人的游戏, 接着重复上述过程, 直到剩下2个人, 此时容易知道留下的那个人就在1号位.</p> <p>面对目前1300人的情况, 只需先进行游戏直到剩下离它最近且小于它的 $2^n$ 数, 即 1024 人时, 再以这时报&quot;1&quot;的人的位置为1号位, 便能找到获胜者会站在的位置.</p> <p>计算, 得该位置为<strong>第553号位.</strong></p> <p>卡洛特站在这个位置上, 如愿以偿得到了她喜欢的小裙裙.🤤🤤🤤</p> <h2 id="后记">后记 </h2> <blockquote> <p>本题改编于河源中学2025年高一年级数学竞赛废稿题目.</p> </blockquote> <p>更多疑问可致信河中数协官方邮箱<a class="link" href="mailto:hyzxmath@outlook.com" >hyzxmath@outlook.com</a>或者在下方评论区留言, 小南梁会耐心为您解答♡</p>