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2026佛山二模第14题详解

Sat, 18 Apr 2026 14:22:29 +0800

原题

已知 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{6} = 1$ 的左右焦点, $A, B \in C$, 且满足 $\overrightarrow{AF_2} = \lambda \overrightarrow{F_2 B} (\lambda > 0)$. 若 $\cos \angle A F_1 B = \frac{3}{5}$, 求 $\triangle ABF_1$ 的内切圆半径.

答案

内切圆半径为 2.

解析

双曲线方程为 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{6} = 1$, 可得:

$a^2 = 4 \implies a = 2$
$b^2 = 6$
$c^2 = a^2 + b^2 = 10 \implies c = \sqrt{10}$
焦距 $|F_1 F_2| = 2c = 2\sqrt{10}$

由 $\overrightarrow{AF_2} = \lambda \overrightarrow{F_2 B} (\lambda > 0)$ 可知, $A, F_2, B$ 三点共线, 且 $F_2$ 位于线段 $AB$ 之间. 即 $AB$ 是过右焦点 $F_2$ 的一条弦, 并且 $A$, $B$都在双曲线的右支.

设 $|AF_1| = m$, $|BF_1| = n$. 根据双曲线定义, 对于右支上的点 $P$, 有 $|PF_1| - |PF_2| = 2a = 4$. 那么有:

$|AF_2| = |AF_1| - 2a = m - 4$
$|BF_2| = |BF_1| - 2a = n - 4$
$\triangle ABF_1$ 的边 $AB$ 长度为: $|AB| = |AF_2| + |BF_2| = (m - 4) + (n - 4) = m + n - 8$

在 $\triangle ABF_1$ 中, 已知 $\cos \angle AF_1B = \frac{3}{5}$, 则 $\sin \angle AF_1B = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$.

由余弦定理:

$$ |AB|^2 = |AF_1|^2 + |BF_1|^2 - 2|AF_1||BF_1| \cos \angle AF_1B $$

代入边长表达式:

$$ (m + n - 8)^2 = m^2 + n^2 - 2mn \cdot \frac{3}{5} $$

展开左边:

$$ (m+n)^2 - 16(m+n) + 64 = m^2 + n^2 - \frac{6}{5}mn $$$$ m^2 + 2mn + n^2 - 16(m+n) + 64 = m^2 + n^2 - \frac{6}{5}mn $$

消去 $m^2, n^2$ 并整理:

$$ 2mn + \frac{6}{5}mn = 16(m+n) - 64 $$

即

$$ \frac{16}{5}mn = 16(m+n) - 64 $$

两边同除以 16:

$$ \frac{1}{5}mn = (m+n) - 4 $$

$$ mn = 5(m+n) - 20 $$

设 $\triangle ABF_1$ 的内切圆半径为 $r$, 面积为 $S$, 半周长为 $s$. 则:

$$ \begin{aligned} s &= \frac{|AF_1| + |BF_1| + |AB|}{2} \\ &= \frac{m + n + (m + n - 8)}{2} \\ &= \frac{2(m+n) - 8}{2} \\ &= m + n - 4 \end{aligned} $$$$ S = \frac{1}{2} |AF_1| |BF_1| \sin \angle AF_1B = \frac{1}{2} mn \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5} mn $$

故

$$ r = \frac{S}{s} = \frac{\frac{2}{5} mn}{m + n - 4} $$

将步骤 3 中得到的 $mn = 5(m+n) - 20 = 5(m+n-4)$ 代入上式:

$$ r = \frac{\frac{2}{5} \cdot 5(m+n-4)}{m+n-4} = 2 $$

2026佛山二模第11题详解

Sat, 18 Apr 2026 13:22:29 +0800

原题

11．从分别写有 $1, 2, 3, \ldots, m\left(m \in \mathbb{N}^{*}\right)$ 的 $m$ 张卡片中不放回随机抽取 $n(n \leq m) $ 次, 每次取 1 张卡片, 记第 $i(i=1,2,3, \cdots, n)$ 次取出卡片的数字为 $a_{i}$, 定义 $F_{m}^{n}$ 为满足 $\forall i \leq n, a_{i} \neq i$ 的不同情况数, 则 ______

A． $F_{m}^{1}=m-1$

B． $\sum\limits_{i=1}^{3} F_{3}^{i}=7 $

C． $F_{n}^{n} \leq m n $

D． $F_{n+1}^{n}=(n+1) F_{n}^{n}+n F_{n-1}^{n-1}(n \geq 2)$

答案

本题选 ABD.

解析

A 选项

想象有 $m$ 个球, 编号 $1, 2, \ldots, m$, 那没有挑到 $1$ 号球的的情况显然就是 $m-1$ 咯

$A$ 显然正确.

B 选项

数字不大, 直接枚举就可以了

先求 $F_3^1$
- 套用 $A$ 选项结论, $F_3^1 = 2$
再求 $F_3^2$
- 由于第一个不能为 1, 分类讨论
  1. 第一位是 $2$: 有 $(2,1) (2,3)$ 2种
  2. 第一位是 $3$: 有 $(3,1)$ 1种
- 因此 $F_3^2 = 3$
最后求 $F_3^3$
- 由于第一位不能为 1, 分类讨论
  1. 第一位是 $2$: 有 $(2,3,1)$ 1种
  2. 第一位是 $3$: 有 $(3,1,2)$ 1种
- 因此 $F_3^3 = 2$

所以 $\sum\limits_{k=1}^{3} F_3^k = 2 + 3 + 2 = 7$, $B$ 选项正确.

C 选项

显然 $F_n^m$ 应该小于 $A_n^m$ 才对, 尝试找一个反例

试一下 $F_5^3$, 看看是不是小于 15

数字不大, 列举一下

第一位是 2:
- $(2,1,4) (2,1,5)$
- $(2,3,1) (2,3,4) (2,3,5)$
- $(2,4,1) (2,4,5)$
- $(2,5,1) (2,5,4)$ 共 9 种.
第一位是 3:
- $(3,1,2) (3,1,4) (3,1,5)$
- $(3,4,1) (3,4,2) (3,4,5)$
- $(3,5,1) (3,5,2) (3,5,4)$ 共 9 种.
第一位是 4:
- $(4,1,2)(4,1,5)$
- $(4,3,1)(4,3,2)(4,3,5)$
- $(4,5,1)(4,5,2)$ 共 7 种.
第一位是 5:
- $(5,1,2)(5,1,4)$
- $(5,3,1)(5,3,2)(5,3,4)$
- $(5,4,1)(5,4,2)$ 共 7 种.

求得

$$ F_5^3 = 9+9+7+7=32 > 15 $$

所以 C 选项错误.

当然也可以参考全错排公式的推导用容斥原理计算:

总数: 从 5 个元素中选 3 个的排列数 $A_5^3 = 60$.
减去至少 1 个位置固定: $\binom{3}{1} A_4^2 = 3 \times 12 = 36$.
加上至少 2 个位置固定: $\binom{3}{2} A_3^1 = 3 \times 3 = 9$.
减去 3 个位置全固定: $\binom{3}{3} A_2^0 = 1 \times 1 = 1$.

也可以得到 $F_5^3 = 32$.

D 选项

设 $D_k = F_k^k$ 为 $k$ 个元素的错位排列数. 我们需要证明:

$$ F_{n+1}^n = (n+1)D_n + n D_{n-1} $$

步骤 1: 建立 $F_{n+1}^n$ 的基本递推关系

考虑从集合 ${1, 2, \dots, n+1}$ 中选取 $n$ 个数字排列在位置 $1, \dots, n$ 上, 且 $a_i \neq i$. 根据数值 $n+1$ 是否出现在数列中分类:

$n+1$ 未出现: 数列由 ${1, \dots, n}$ 组成, 且 $a_i \neq i$. 方案数为 $D_n$.
$n+1$ 出现: 设 $a_j = n+1$, 位置 $j$ 有 $n$ 种选择 ($j \in {1, \dots, n}$). 剩余 $n-1$ 个位置由 ${1, \dots, n} \setminus {k}$ 填充（其中 $k$ 是未被选中的那个 $1 \sim n$ 之间的数, 或者更准确地说, 剩余位置需从 ${1, \dots, n}$ 中选 $n-1$ 个排布）. 此部分的方案数等价于 $n F_n^{n-1}$.

因此有初步递推式:

$$ F_{n+1}^n = D_n + n F_n^{n-1} $$

步骤 2: 推导 $F_n^{n-1}$ 与 $D_n$, $D_{n-1}$ 的关系

$F_n^{n-1}$ 表示从 ${1, \dots, n}$ 中选 $n-1$ 个排在位置 $1, \dots, n-1$ 上, 且 $a_i \neq i$.

根据“哪个数字没被选中”分类:

没选中的是 $n$: 剩余 ${1, \dots, n-1}$ 排在 $1, \dots, n-1$ 上, 即 $D_{n-1}$.
没选中的是 $k \in {1, \dots, n-1}$: 对于固定的 $k$, 剩余数字包含 $n$. 这相当于构造一个长度为 $n-1$ 的序列, 使用数字 ${1, \dots, n} \setminus {k}$. 通过组合双射可以证明, 所有 $k \in {1, \dots, n-1}$ 的情况之和恰好等于 $D_n$. (直观理解: $D_n$ 可以看作是在 $n$ 个位置的错位排列中, 去掉第 $n$ 位及其对应的值后形成的结构总和).

故有恒等式:

$$ F_n^{n-1} = D_n + D_{n-1} $$

步骤 3: 代入并整理

将步骤 2 的结果代入步骤 1 的递推式:

$$ \begin{aligned} F_{n+1}^n &= D_n + n(D_n + D_{n-1}) \\ &= D_n + n D_n + n D_{n-1} \\ &= (n+1)D_n + n D_{n-1} \\ &= (n+1)F_n^n + n F_{n-1}^{n-1} \end{aligned} $$

因此 $D$ 选项正确.

扩展

$F_m^n$ 叫做部分错排数, 是全错排的推广. 全错排 $D_n = F_n^n$ 可以视为一个特例.

$F_m^n$ 的通项公式

利用容斥原理.

总排列数为 $A_m^n$.

设性质 $P_i$ 为 $a_i = i$. 我们需要排除所有满足至少一个 $P_i$ 的情况.

若固定 $k$ 个位置满足 $a_i=i$, 则这 $k$ 个位置已确定, 剩余 $n-k$ 个位置从剩下的 $m-k$ 个元素中选取并排列, 方案数为 $A_{m-k}^{n-k}$. 选择哪 $k$ 个位置固定有 $\binom{n}{k}$ 种方式.

于是通项公式为:

$$ F_m^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} A_{m-k}^{n-k} $$

展开排列数 $A_{m-k}^{n-k} = \frac{(m-k)!}{(m-n)!}$, 可得

$$ F_m^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} \frac{(m-k)!}{(m-n)!} $$

进一步化简为组合数形式:

$$ F_m^n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{m-k}{n-k} $$

结论: $F_{n+1}^n = D_n + D_{n+1}$

证明:

已知错位排列递推公式 $D_{n+1} = n(D_n + D_{n-1})$. 由命题 2 可知:

$$ F_{n+1}^n = (n+1)D_n + n D_{n-1} $$

计算 $D_n + D_{n+1}$:

$$ \begin{aligned} D_n + D_{n+1} &= D_n + n(D_n + D_{n-1}) \\ &= D_n + n D_n + n D_{n-1} \\ &= (n+1)D_n + n D_{n-1} \end{aligned} $$

两者相等, 故 $F_{n+1}^n = D_n + D_{n+1}$ 成立.

组合数学问题：地砖涂色方案数

Sat, 04 Apr 2026 00:00:00 +0000

问题描述

有一行共 $n$ 个地砖，要涂黑色或白色。

基础条件：从左往右涂，任意时刻黑色块的数量必须大于等于白色块的数量。
进阶条件：在满足基础条件的前提下，要求最后黑色块比白色块多 $m$ 个（$0 \le m \le n$）。

我们将涂黑色记为 $+1$（向上走一步），涂白色记为 $-1$（向下走一步）。设坐标 $(k, y)$ 表示涂了 $k$ 块砖后，黑块数与白块数的差值为 $y$。

起点：$(0, 0)$
限制：路径不能低于 $x$ 轴（即 $y \ge 0$）。

1. 仅满足“过程中黑 $\ge$ 白”的方案数

结论

满足该条件的总涂法数为：

$$ A_n = \binom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} $$

推导简述

这是一个经典的格路问题结论。所有从 $(0,0)$ 出发且不穿过 $x$ 轴下方的长度为 $n$ 的路径总数，等于二项式系数中的中间项。

当 $n=1$：$\binom{1}{0} = 1$ （黑）
当 $n=2$：$\binom{2}{1} = 2$ （黑黑，黑白）
当 $n=3$：$\binom{3}{1} = 3$ （黑黑黑，黑黑白，黑白黑）
当 $n=4$：$\binom{4}{2} = 6$
$\cdots$

2. 满足“过程中黑 $\ge$ 白”且“最终黑比白多 $m$ 个”的方案数

前提条件

设最终黑块数为 $B$，白块数为 $W$。

$$ \begin{cases} B + W = n \\ B - W = m \end{cases} \implies B = \frac{n+m}{2}, \quad W = \frac{n-m}{2} $$

由于 $B, W$ 必须为整数，因此 $n$ 和 $m$ 必须同奇偶（即 $n \equiv m \pmod 2$）。

若 $n, m$ 奇偶性不同，方案数为 0。
若 $n < m$，方案数为 0。

计算公式（利用反射原理）

当 $n \equiv m \pmod 2$ 时，合法路径数 = (无限制总路径数) - (触碰 $y=-1$ 的非法路径数)。

无限制总路径数：从 $(0,0)$ 到 $(n, m)$ 的路径数，需向上走 $\frac{n+m}{2}$ 步：
$$ N_{total} = \binom{n}{\frac{n+m}{2}} $$
非法路径数：根据反射原理，从 $(0,0)$ 出发且触碰 $y=-1$ 到达 $(n, m)$ 的路径数，等价于从 $(0, -2)$ 出发到达 $(n, m)$ 的路径数。此时需要的向上步数为 $\frac{n+(m+2)}{2} = \frac{n+m}{2} + 1$：
$$ N_{bad} = \binom{n}{\frac{n+m}{2} + 1} $$
最终公式：
$$ N(n, m) = \binom{n}{\frac{n+m}{2}} - \binom{n}{\frac{n+m}{2} + 1} $$
该公式也可化简为广义卡特兰数的形式：
$$ N(n, m) = \frac{m+1}{\frac{n+m}{2} + 1} \binom{n}{\frac{n+m}{2}} $$

总结表格

条件	公式	备注
仅过程约束	$\displaystyle \binom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}$	适用于所有 $n \ge 1$
过程 + 终点约束	$\displaystyle \binom{n}{\frac{n+m}{2}} - \binom{n}{\frac{n+m}{2} + 1}$	仅当 $n \equiv m \pmod 2$ 时有效，否则为 0

示例验证

假设 $n=4$：

仅过程约束： $$ \binom{4}{2} = 6 $$ 合法序列：BBBB, BBBW, BBWB, BWBB, BWBW, BBWW (注意：BWBW 是合法的，因为前缀和分别为 1, 0, 1, 0，从未小于 0)。
过程 + 终点 $m=2$ ($n, m$ 同偶)：需要 $B=3, W=1$。 $$ \binom{4}{3} - \binom{4}{4} = 4 - 1 = 3 $$ 合法序列：BBBW, BBWB, BWBB。 (非法序列：WBBB，因为第一步就变负了)。
过程 + 终点 $m=0$ ($n, m$ 同偶)：需要 $B=2, W=2$。 $$ \binom{4}{2} - \binom{4}{3} = 6 - 4 = 2 $$ 合法序列：BBWW, BWBW。 (非法序列：BWWB, WB…, 等)。

全错排问题数列推导

Fri, 03 Apr 2026 00:00:00 +0000

问题描述

已知递推数列：

$$ A_n = (n-1)(A_{n-1} + A_{n-2}), \quad n \ge 3 $$

初始条件：

$$ A_1 = 0, \quad A_2 = 1 $$

求 ${A_n}$ 的通项公式。

背景知识：该数列即为组合数学中的错排数（Derangement Number），通常记为 $D_n$ 或 $!n$。它表示 $n$ 个元素排列后，没有任何一个元素出现在其原始位置上的排列总数。

推导过程

1. 变形递推关系

将原递推公式展开：

$$ A_n = (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} $$

为了构造可解的形式，我们在等式两边同时减去 $n A_{n-1}$：

$$ \begin{aligned} A_n - n A_{n-1} &= (n-1)A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} - n A_{n-1} \\ &= -A_{n-1} + (n-1)A_{n-2} \\ &= -(A_{n-1} - (n-1)A_{n-2}) \end{aligned} $$

其实你可以用待定系数法强行构造出来一个等比然后再展开求解

2. 构造辅助数列

令 $B_n = A_n - n A_{n-1}$ ($n \ge 2$)。由上式可得：

$$ B_n = -B_{n-1} $$

这表明 ${B_n}$ 是一个公比为 $-1$ 的等比数列。

计算首项 $B_2$：

$$ B_2 = A_2 - 2 A_1 = 1 - 2 \times 0 = 1 $$

因此, ${B_n}$ 的通项为：

$$ B_n = B_2 \cdot (-1)^{n-2} = 1 \cdot (-1)^{n-2} = (-1)^n $$

(注: $(-1)^{n-2} = (-1)^n \cdot (-1)^{-2} = (-1)^n$)

代回 $B_n$ 的定义，得到新的递推关系：

$$ A_n - n A_{n-1} = (-1)^n \implies A_n = n A_{n-1} + (-1)^n $$

3. 累加

将上式两边同时除以 $n!$：

$$ \frac{A_n}{n!} = \frac{A_{n-1}}{(n-1)!} + \frac{(-1)^n}{n!} $$

令 $C_n = \frac{A_n}{n!}$，则有：

$$ C_n - C_{n-1} = \frac{(-1)^n}{n!} $$

对 $k$ 从 $2$ 到 $n$ 进行累加：

$$ \begin{aligned} C_n &= C_1 + \sum_{k=2}^n (C_k - C_{k-1}) \\ &= \frac{A_1}{1!} + \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} \end{aligned} $$

由于 $A_1 = 0$，故 $C_1 = 0$。

$$ C_n = \sum_{k=2}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$

观察求和项：

当 $k=0$ 时, $\frac{(-1)^0}{0!} = 1$
当 $k=1$ 时, $\frac{(-1)^1}{1!} = -1$
前两项之和 $1 + (-1) = 0$，不影响总和。

因此可以将求和下标扩展至 $0$：

$$ C_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$

4. 得出通项公式

由 $A_n = n! \cdot C_n$，最终得到：

$$ A_n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$

最终结论

该数列的通项公式为：

$$ A_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} \right) $$

或者写作求和符号形式：

$$ A_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{k!} $$

近似公式

当 $n$ 较大时，由于 $\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} = e^{-1} = \frac{1}{e}$，该公式可近似为：

$$ A_n \approx \frac{n!}{e} $$

精确值为最接近 $\frac{n!}{e}$ 的整数：

$$ A_n = \left[ \frac{n!}{e} \right] $$

(其中 $[x]$ 表示四舍五入取整)

2025年河源中学高一年级数学竞赛获奖名单

Sun, 29 Mar 2026 00:00:00 +0000

源文件

获奖名单

名	原班	等	分
黄思浩	1	一	64
巫烨	10	一	61
赖科艺	2	一	60
刘铠闻	1	二	58
黄新楚	2	二	56
黄润达	2	二	55
何岱霖	13	二	54
罗梓源	13	二	52
邹健	2	二	50
吴文炫	2	二	50
谢晟	3	二	50
钟浩轩	1	三	47
陈天扬	13	三	47
蒋康明	12	三	46
徐国盛	1	三	45
张煜茹	3	三	44
叶景昊	18	三	42
戴传能	18	三	42
刘德诚	2	三	41
刘星宇	1	三	40
赖宇翔	10	三	40

11题评分说明

对于(1)题，无论按原本试卷上的错误条件，或按更正后的正确条件作答，只要给出结论并证明，一律给分.对于划掉错误条件下的解题过程的，只要能被识别出来，仍然给分.
对于(2)题，按解题步骤酌情给分.

对命题的疏忽和造成的评分问题深感抱歉！！！

原创题得分王

在数协社干的原创试题中获得最高分的同学，在此予以表扬：

第9题圆与直线（满分16分）：黄思浩（1班）11分、刘星宇（1班）11分第10题函数与不等式（满分20分）：刘铠闻（1班）19分

我能在数学选必部分只看了第三册的情况下完成全错排通项公式推导吗？

Sat, 28 Mar 2026 00:00:00 +0000

导入

我叫追风卡洛特，复姓追风，是河中的超气人娼年小南梁.

为了让自己的腿子更健美，我今天约了同学，一共3个人去跑步.我们脱下校服放成一堆就上道了.跑完后，每人随手抓了一件校服就穿上了，匆忙之下，所有人都没穿到自己的衣服.

请问，在此情况下一共有多少种穿衣服的方法？

如果跑步的人一共是4人呢？5人呢？10000人呢？

正片开始

导入中描述的就是典型的全错排问题.首先，有$n$个元素进行排列，每个元素均有自己对应的位置，全错排问题 就是去研究所有元素都不排在原来所对应的位置的情况总数.例如，对于(1,2,3)的全错排情形，有(2,3,1),(3,1,2)共两种.

下面，我们令$n$个元素的全错排排列总数为$a_n$，研究数列${a_n}$的通项公式.

基于容斥原理的归纳推导方法

全错排公式的推导一般有递推数列法和容斥原理法两种.但由于标题说了，选必部分我们只看了第三册，因此此处采用容斥原理的方法.以$n=4$时的全错排为例.

首先，我们需要采用一种正难则反的思想，即先将所有可能都算出来，再减去不合题意的情况.

四种元素的排列共

$$ A_4^4=24 $$

种.

接下来，容斥原理登场.这个原理，我愿称之为“加多了就减，减多了就加，加减交替，一步步地接近真实”.容易发现，在4个元素的全部排列中，包含“有1个元素正确排列”的情况（按照容斥原理的逻辑，应从包含情况较多的集合开始考虑），下面减去

$$ A_4^4-C_4^1A_3^3 $$

其中 $C_4^1$ 代表从4个元素中选出一个正确排列，$A_3^3$ 表示剩余3个元素任意排列.下文类似逻辑不再赘述.

接着，容易发现，在“有1个元素正确排列”的情况中包含“有2个元素正确排列”的情况.也就是说，上面的操作“减多了”，于是下面我们加回去

$$ A_4^4-C_4^1A_3^3+C_4^2A_2^2 $$

同理，在“有2个元素正确排列”的情况中包含“有3个元素正确排列”的情况……以此类推，最终我们得出式子：

$$ A_4^4-C_4^1A_3^3+C_4^2A_2^2-C_4^3A_1^1+1 $$

最后的“1”，表示“4个元素全部排列正确”的情况。

计算该式子，得出答案为9.

列举4种元素的全错排方式如下

(4,3,2,1),(4,1,2,3),(4,3,1,2),(3,4,1,2), (3,4,1,2),(2,4,1,3),(2,1,4,3),(3,1,4,2), (2,3,4,1)

凡9种，与计算结果相符.

此时，展开我们最后得到的式子，得到

$$ 4\times3\times2\times1-4\times3\times2+4\times3-4+1 $$

观察可以发现，多项式中的第一项是$4!$，此后每一项都比前一项少个“尾巴”.

写成阶乘的形式，得到

$$ \frac{4!}{0!}-\frac{4!}{1!}+\frac{4!}{2!}-\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{4!} $$

不难发现，每一项的正负与该项分母的奇偶有关.所以又能写成

$$ \sum_{i=1}^4 \frac{{(-1)^i}4!}{i!} $$

事实上，对于$n$为其他正整数的情况，也能得到这种结构，读者可自行验证.

于是我们得到全错排公式

$$ \boxed{ a_n=\sum_{i=1}^n \frac{{(-1)^i}n!}{i!} } $$

推导完毕！！！(ᕑᗢᓫ∗)

可能存在的疑问

对于4个元素的全错排，3个元素排列正确就意味着4个元素排列正确，为什么重复计算？

这个我认为是容斥原理的计算规则.我们在集合中使用容斥原理时，是按交集的个数递增的顺序计算的，像 $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$（$|X|$表示集合$X$中元素个数）.你可以画Venn图，每一个圆圈代表一个元素的正确排列，就会发现其实我们要求的是“有元素正确排列”的情况，即所有集合的并集的元素个数. 由于针对集合的计算是正确的，所以即便有些集合是空集，算出来的结果也同样是符合真实状况的.

我算出的情况重复了.

应该的，你多次计算了交集的部分，后面减去就好了.

更多疑问可致信河中数协官方邮箱hyzxmath@outlook.com或者在下方评论区留言，小南梁会耐心为您解答♡

2025年河源中学高一年级数学竞赛答案

Fri, 19 Dec 2025 00:00:00 +0000

填空题

题号	答案
1	$M = N$
2	$\frac{1 + \sqrt{3} \cdot 2023}{\sqrt{3} - 2023}$
3	$2540$
4	$\mathbb{R}$
5	$27$
6	$4$
7	$\frac{1}{2}$
8	$5$

由于第 4 题没有说明 $a, b, c > 0$, 故答案为 $\mathbb{R}$, 更改后为 $[\frac{3}{2}, +\infty)$.

解答题

9. (16分, 10+6)

本题为射影几何(极点极线)背景下的几何题, 可以考虑使用建系并当作圆锥曲线大题完成.

小题答案速览

证明略
$BG$ 是定值, 定值为 $\frac{r^2}{a}-r$

详细解析

答案暂不提供

10. (20分, 4+8+8)

本题改编自 2024 年高三 T8 联考 14 题.

小题答案速览

$2 + 2\sqrt{2}$
$x$ 的取值范围是 $[-4, 4]$, $y$ 的取值范围是 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, 当 $|x|$ 最大时 $|x+y|=5$
$f(x)$ 单调递增, 证明略

详细解析

第 (1) 问

$$ 8 = x^2 - 4xy + 8y^2 \ge 4\sqrt{2} - 4xy $$$$\therefore xy \le 2 + 2\sqrt{2}$$

当且仅当 $x = 2\sqrt{2}y$, 即

$$ \begin{cases} x = \sqrt{8+4\sqrt{2}} \\ y = \sqrt{1+\frac{\sqrt{2}}{2}} \end{cases} \quad \text{或} \quad \begin{cases} x = -\sqrt{8+4\sqrt{2}} \\ y = -\sqrt{1+\frac{\sqrt{2}}{2}} \end{cases} $$

时取等.

第 (2) 问

配方得

$(x - 2y)^2 + 4y^2 = 8$

$\therefore 8 = (x - 2y)^2 + 4y^2 \ge \frac{1}{2}x^2 \Rightarrow x^2 \le 16$

$\therefore x$ 的范围是

$$ [-4, 4] $$

又 $x^2-4xy+8y^2-8=0$,

把它看作关于 $x$ 的一元二次方程, 则该方程有解,

$\therefore \Delta = (4y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8y^2 - 8) = 16(2-y^2) \ge 0$

$\therefore y$ 的范围是

$$ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $$

当 $|x|$ 取最大值 4 时, 令 $x = 4 \Rightarrow y = 1, x = -4 \Rightarrow y = -1$,

$$ \therefore |x+y| = 5 $$

第 (3) 问

$\forall -4 \le x_1 < x_2 < 0$ 且 $y_1 = f(x_1) > 0, y_2 = f(x_2) > 0$,

则

$$ \begin{align*} x_1^2 - 4x_1y_1 + 8y_1^2 = 8 \\ x_2^2 - 4x_2y_2 + 8y_2^2 = 8 \end{align*} $$

两式相减得

$(x_1^2 - x_2^2) - 4(x_1y_1 - x_2y_2) + 8(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 0$

$\because x_1 < x_2 < 0 \Rightarrow (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) > 0$,

$\therefore 2(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) < x_1y_1 - x_2y_2 < x_2(y_1 - y_2)$

$\therefore (y_1 - y_2)(2y_1 + 2y_2 - x_2) < 0$

$\because y_1 > 0, y_2 > 0, x_2 < 0 \Rightarrow 2y_1 + 2y_2 - x_2 > 0$

$\therefore y_1 < y_2, f(x_1) < f(x_2)$

$\therefore f(x)$ 单调递增.

11. (16分, 4+7+9)

本题有误, 由于 $L$ 函数的条件写错为“实数 $s, t$”导致本题无解, 条件应改为“正数 $s, t$”

改正后答案如下.

小题答案速览

是
$a \in [1, +\infty)$
证明略

详细解析

第 (1) 问

$\forall s, t > 0$, 显然 $h(s) = s^3 + s >0, h(t) = t^3 + t >0$

且 $h(s) + h(t) - h(s + t) = -3st(s+t) < 0 \Rightarrow h(s) + h(t) < h(s + t)$

$\therefore h(x)$ 是“L 函数”.

第 (2) 问

$\because \forall x > 0, g(x) = a(e^x - 1) + (e^{-x}-1) = (e^x -1)(a - e^{-x}) > 0$

$\therefore a > e^{-x} \forall x > 0$ 恒成立, 即 $a \ge 1$

又 $\forall s, t > 0, g(s)+g(t) < g(s+t) \Rightarrow (e^s - 1)(e^t - 1)(a + \frac{1}{e^{s+t}})>0$

$\therefore a \ge 0$

综上, $a \in [1, +\infty)$

第 (3) 问

当 $x \in \mathbb{N^*}$ 时,

$f(2) > f(1) + f(1) = 2 \cdot 2 > 2(2 - 1)$
$\forall n \in \mathbb{N^*}$, 若 $f(n) > 2n > 2(n-1)$, 则 $f(n+1) > f(n) + f(1) = f(n) + 2 > 2(n + 1) > 2n$

$\therefore \forall x \in \mathbb{N^*}, f(x) > 2x > 2(x-1)$

当 $x > 1$ 且 $x \notin \mathbb{N^*}$ 时, 令 $n = \lfloor x \rfloor$, 则 $x-1 < n < x < n+1$,

$\therefore f(x) > f(n) > 2n > 2(x-1)$

综上, $\forall x \in (1, +\infty), f(x) > 2(x-1)$

选择题

题号	答案
12	A
13	24
14	C
15	B
16	D

2025年河源中学高一年级数学竞赛试题

Fri, 19 Dec 2025 00:00:00 +0000

注意事项

全卷共 16 小题, 满分 120+30 分, 考试时长 90 分钟.

答题前, 考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡的相应位置.

考生请在答题卡上作答, 在试卷上作答无效.

选择题请使用 2B 铅笔填涂, 非选择题使用0.5mm 黑色签字笔作答.

考试结束后, 上交答题卡.

题目

一、填空题（共8题, 64分）

已知集合 $M = \{ u | u = 12m + 8n + 4l, m, n, l \in \mathbb{Z} \}$, $N = \{ v | v = 20p + 16q + 12r, p, q, r \in \mathbb{Z} \}$, 则 $M$ 与 $N$ 的关系是______
函数迭代, 就是一个函数与自身复合多次, 将 $f(x)$ 迭代 $n$ 次记作 $f^{(n)}(x), n \in \mathbb{N^*}$. 一般地, 有 $f^{(0)}(x) = x, f^{(1)}(x) = f(f^{(0)}(x)) = f(x),f^{(2)}(x) = f(f^{(1)}(x)) = f(f(x)), f^{(3)}(x) = f(f^{(2)}(x)), \cdots ,f^{(n)}(x) = f(f^{(n-1)}(x))$. 已知 $f(x) = \frac{1+\sqrt{3}x}{\sqrt{3}-x}$, 则 $f^{(2023)}(2023) = $ ______
已知 $f(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + a$, 且 $f(1) = 5, f(2) = 10, f(3) = 15$, 则 $f(8) + f(-4) = $ ______
已知 $a + b +c = m, m > 0, m \neq 1$, 则 $\frac{a}{b+2c}+\frac{2c}{a+b}+\frac{b}{a+2c}$ 的取值范围是 ______
若 $x^{x^3} = 3$, 则 $x^9 = $ ______
$x^{2026} = e^x$ 的两个绝对值不大于二的实数根为 $\alpha, \beta, |\alpha + \beta| =a \cdot 10^{-b}, b \in \mathbb{N^*}$, 且 $|\lg a - 1|$ 最小, 则 $b =$ ______
甲、乙两人各有四张卡片, 每张卡片标有一个数字, 甲的卡片上分别标有数字 1, 3, 5, 7, 乙的卡片上分别标有数字 2, 4, 6, 8. 两人进行四轮比赛, 每轮比赛中两人各自从自己的卡片中随机选择一张, 并进行比较, 数字大者得1分, 数字小者不得分, 然后扔掉此轮所选卡片, 则四轮比赛结束后, 甲的得分小于 2 概率为 ______
已知 $xy = 6, x, y > 0$, 则 $x + y + \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2}$ 的最小值为 ______

二、解答题（共3题, 56分）

9. (16分， 10+6)

如图 1, 圆 $O$ 的一条半径 $OB = 1$, $A, D$ 在射线 $OB$ 上, 且 $OA = \sqrt{2}-1$, $E$ 是圆上一动点, 连接 $AE$ 并延长交圆 $O$ 于点 $F$, 连接 $DF$ 并延长交圆 $O$ 于点 $C$. 求证: $OD = \sqrt{2}-1$ 是 $CE \perp AD$ 的充要条件.
如图 2, $BC$ 是圆 $O$ 的一条直径, $A$ 在线段 $OB$ 上, $OA = a, OB = r$, 过点 $A$ 作直线交圆 $O$ 于 $D, E$, 直线 $CD, BE$ 交于点 $F$, 过 $F$ 作 $FG \perp BC$ 于点 $G$. 问: $BG$ 是否为定值? 若是, 求出该定值(用 $a, r$ 表示); 若不是, 说明理由.

10. (20分, 4+8+8)

已知 $x^2 - 4xy + 8y^2 = 8, x, y \in \mathbb{R}$.

求 $xy$ 的最大值.
分别求 $x, y$ 的取值范围, 并求当 $|x|$ 最大时 $|x+y|$ 的值.
当 $x < 0, y > 0$ 时, $x, y$ 之间存在函数关系 $y = f(x)$. 证明或证伪: $f(x)$ 单调.

11. (20分, 4+7+9)

若函数 $f(x)$ 满足: 对于任意的实数 $s, t$, 都有 $f(s), f(t) > 0$, 且 $f(s) + f(t) < f(s + t)$, 则称 $f(x)$ 为“L 函数”.

试判断 $h(x) = x^3 + x$ 是不是 “L 函数”, 说明理由.
若函数 $g(x) = a(e^x - 1) + (e^x + 1)$ 是“L 函数”，求实数 $a$ 的取值范围.
若函数 $f(x)$ 是“L 函数”, 且 $f(x) = 2$. 求证: $\forall x \in (1, +\infty), f(x) > 2(x-1)$.

三、附加单选题（共 5 题, 30分）

在平面直角坐标系中, 设 $\triangle ABC$ 的顶点分别为 $A(0, a), B(b, 0), C(c, 0)$, 点 $P(0, p)$ 在线段 $OA$ 上且异于端点, 设 $abcp \neq 0$, 直线 $BP$ 与 $AC$ 相交于 $E$, $CP$ 交 $AB$ 于 $F$, 已知直线 $OE: (\frac{1}{b}-\frac{1}{c})x+(\frac{1}{p}-\frac{1}{a})y=0$, 则 $OF$ 的表达式为 ______
- A. $(\frac{1}{c}-\frac{1}{b})x+(\frac{1}{p}-\frac{1}{a})y=0$
- B. $(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})x+(\frac{1}{p}-\frac{1}{c})y=0$
- C. $(b-c)x+(p-a)y=0$
- D. 以上说法均错误
从 $1, 2, 3, \cdots, 10$ 中选出三个不同的数, 使得这三个数中任意两数之和都是合数, 则不同的选法共有 ______
- A. 20
- B. 25
- C. 30
- D. 35
设 $n \in \mathbb{N^*}$, 且 $n^2 + 19 n + 13$ 为完全平方数. 这样的 $n$ 的个数有 ______
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 无穷多
把一个集合 $M$ 分成 $n$ 个非空子集: $A_1, A_2, A_3, \cdots, A_n$, 如果: (1) $A_i \cap A_j = \emptyset, 1 \le i, j \le n, i \neq j$; (2) $A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_n = M$, 那么这些子集的全体叫做集合 $M$ 的一个 $n$-分划. 现有由正整数组成的集合 $C$, 满足如下条件: 删除其中的任意一个元素后形成的集合 $C_0$ 存在一个 2-分划, 使得每个子集内的元素之和相等. 则集合 $C$ 中至少有多少个元素?
- A. 5
- B. 7
- C. 8
- D. 10
若 $a = \lg 2 \times \lg 5, b = \frac{\ln 2}{2}, c = \frac{\ln 3}{3}$, 则
- A. $a > c > b$
- B. $b > c > a$
- C. $a > b > c$
- D. $c > b > a$

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2026佛山二模第14题详解

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2026佛山二模第11题详解

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解析

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B 选项

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扩展

$F_m^n$ 的通项公式

结论: $F_{n+1}^n = D_n + D_{n+1}$

组合数学问题：地砖涂色方案数

问题描述

1. 仅满足“过程中黑 $\ge$ 白”的方案数

结论

推导简述

2. 满足“过程中黑 $\ge$ 白”且“最终黑比白多 $m$ 个”的方案数

前提条件

计算公式（利用反射原理）

总结表格

示例验证

全错排问题数列推导

问题描述

推导过程

1. 变形递推关系

2. 构造辅助数列

3. 累加

4. 得出通项公式

最终结论

近似公式

2025年河源中学高一年级数学竞赛获奖名单

获奖名单

11题评分说明

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我能在数学选必部分只看了第三册的情况下完成全错排通项公式推导吗？

导入

正片开始

基于容斥原理的归纳推导方法

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一、填空题（共8题, 64分）

二、解答题（共3题, 56分）

9. (16分， 10+6)

10. (20分, 4+8+8)

11. (20分, 4+7+9)

三、附加单选题（共 5 题, 30分）