知识点

1. 基本概念
   • 邻域
   • 初等函数和基本初等函数
   • 极值和最值
2. 函数极限的定义
   • 六种函数极限
3. 极限的性质和运算
   • 四则运算
   • 保号性
   • “抓大头”
4. 重要极限
   • $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
   • $\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e$
5. 函数的连续性
   • 最大值、最小值定理
   • 介值定理 $\Rightarrow$ 零点存在定理

练习题

一、求极限

1. $\lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{\ln x}$
2. $\lim_{h \to 0} \frac{\sin (x+h) - \sin x}{h}$
   • 提示: 和差化积公式
3. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$
   • 提示: 等价无穷小代换, 注意加减法不能直接换
4. $\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} \right)^x$
   • 提示: 重要极限
5. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$

二、解答题（选做）

1. 证明重要极限: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
2. 求 $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots}}}$
   • 提示: 要证明极限的存在性