不定积分专项练习

Sat, 11 Apr 2026 12:18:58 +0800

📌 重要

可能用到的一些超出高中数学的公式:

$\cot x = \cfrac{1}{\tan x}$

$\sec x = \cfrac{1}{\cos x}$

$\csc x = \cfrac{1}{\sin x}$

$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$

$\csc^2 x - \cot^2 x = 1$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan x = \sec^2 x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cot x = - \csc^2 x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec x = \sec x \tan x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \csc x = - \csc x \cot x$

凑微分法

例题

求不定积分:
$$\int x \sin x^2 \mathrm{d}x $$

【解】: 把 $x$ 凑到 $\mathrm{d}$ 后面去

$$ \begin{aligned} I &= \cfrac{1}{2} \int \sin x^2 \mathrm{d}(x^2) \\ &= - \cfrac{1}{2} \cos x^2 + C \end{aligned} $$

练习

求解下列不定积分:

$ \displaystyle \int x e^{x^2} \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \cfrac{\ln x}{x} \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \sin^3 x \cos x \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \cfrac{1}{\sqrt{1-(\arcsin x)^2}} \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \cfrac{x}{(1+x^2)^2} \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \cfrac{1}{x \ln x (\ln(\ln x))^2} \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \cfrac{e^x (1 + \sin x)}{1 + \cos x} \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \cfrac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \cfrac{\sin x \cos x}{\sqrt{1 + \sin^4 x}} \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \tan^4 x \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \cfrac{x e^x}{(1+x)^2} \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \cfrac{1 - \ln x}{(x - \ln x)^2} \mathrm{d}x $

代入换元法

例题

求不定积分:
$$\int \sqrt{1 - x^2} \mathrm{d}x $$

【解】: 看到 $\sqrt{1 - x^2}$, 考虑三角换元 $x = \sin t$, 则 $\mathrm{d}x = \cos t \mathrm{d}t$, 故

$$ \begin{aligned} I &= \int \sqrt{1 - \sin^2 t} \cos t \mathrm{d}t \\ &= \int \cos^2 t \mathrm{d}t \\ & = \cfrac{1}{2} \int (1 + \cos 2t) \mathrm{d}t \\ &= \cfrac{1}{2} t + \cfrac{1}{4} \sin 2t + C \end{aligned} $$

记得变量还原, 由 $x = \sin t$ 可得 $t = \arcsin x$, 又因为 $\sin 2t = 2 \sin t \cos t = 2x \sqrt{1 - x^2}$, 故

$$ I = \cfrac{1}{2} \arcsin x + \cfrac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2} + C $$

练习

$ \displaystyle \int \sqrt{4 - x^2} dx $
$ \displaystyle \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}} dx $
$ \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}} dx $

综合练习

$ \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{1+e^{x}} $
$ \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{x\left(x^{6}+4\right)} $
$ \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}} $
$ \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{x \sqrt{x^{2}-1}} $
$ \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{x \sqrt{4-x^{2}}} $
$ \displaystyle \int \sqrt{\frac{A+x}{A-x}} \mathrm{d}x $
$ \displaystyle \int \sqrt{\frac{x-A}{B-x}} \mathrm{d}x $
- 注: $A<B$
$ \displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^{3}} $

课外拓展: 反三角函数

Fri, 03 Apr 2026 00:00:00 +0000

前言

反三角函数是三角函数的反函数, 是微积分学中不可避免要涉及到的一类基本初等函数, 但是高中教材中完全没有提及. 本文将课本没有的三角函数及其反函数的定义与性质进行总结, 以供同学们参考.

三角函数的扩充

在三角函数中, 最基本的一定是 $\sin x$ 和 $\cos x$. 课本已经给出了正弦、余弦和正切函数的详细定义与性质分析, 这里不再赘述. 下面我们讲一下这三个个三角函数:

余切函数 $\cot x$
正割函数 $\sec x$
余割函数 $\csc x$

三角函数的定义

余切、正割和余割函数的定义如下:

$$ \begin{aligned} \cot x &= \cfrac{1}{\tan x} = \cfrac{\cos x}{\sin x} \\ \sec x &= \cfrac{1}{\cos x} \\ \csc x &= \cfrac{1}{\sin x} \end{aligned} $$

根据这样的定义, 可以分析出不少的函数性质

三角函数的性质

存在域和值域

由上面的定义可得下表

函数	存在域	值域
$\cot x$	$\{x \| x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$	$\mathbb{R}$
$\sec x$	$\{x \| x \neq \frac{\pi}{2} k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$	$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
$\csc x$	$\{x \| x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$	$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$

周期性

直接瞪眼法 awa, 不难发现:

$\cot (x + \pi) = \cfrac{1}{\tan (x + \pi)} = \cfrac{1}{\tan x} = \cot x \Rightarrow \cot x$ 的基本周期为 $\pi$
$\sec (x + 2\pi) = \cfrac{1}{\cos (x + 2\pi)} = \cfrac{1}{\cos x} = \sec x \Rightarrow \sec x$ 的基本周期为 $2\pi$
$\csc (x + 2\pi) = \cfrac{1}{\sin (x + 2\pi)} = \cfrac{1}{\sin x} = \csc x \Rightarrow \csc x$ 的基本周期为 $2\pi$

奇偶性

先给出一个定理:

对于任意的函数 $f(x)$, 它与 $\cfrac{1}{f(x)}$ 的奇偶性相同.

此定理是显然的.

由此我们就知道:

$\cot x$ 为奇函数
$\sec x$ 为偶函数
$\csc x$ 为奇函数

图像

都这样了咱就直接画图咯

单调性

由上图, 显然:

$\cot x$ 在每个区间 $(k\pi, (k + 1)\pi), k \in \mathbb{Z}$ 上单调递减
$\sec x$ 在每个区间 $(2k\pi, (2k + 1)\pi), k \in \mathbb{Z}$ 上单调递增, 在每个区间 $((2k + 1)\pi, (2k + 2)\pi), k \in \mathbb{Z}$ 上单调递减
$\csc x$ 在每个区间 $(2k\pi, (2k + 1)\pi), k \in \mathbb{Z}$ 上单调递增, 在每个区间 $((2k + 1)\pi, (2k + 2)\pi), k \in \mathbb{Z}$ 上单调递减

诱导公式

$2\pi$:

$\cot (2\pi + x) = \cot x$
$\sec (2\pi + x) = \sec x$
$\csc (2\pi + x) = \csc x$
$\cot (2\pi - x) = - \cot x$
$\sec (2\pi - x) = \sec x$
$\csc (2\pi - x) = - \csc x$

$\pi$:

$\cot (\pi + x) = \cot x$
$\sec (\pi + x) = - \sec x$
$\csc (\pi + x) = - \csc x$
$\cot (\pi - x) = - \cot x$
$\sec (\pi - x) = - \sec x$
$\csc (\pi - x) = \csc x$

$\frac{\pi}{2}$:

$\cot \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = - \tan x$
$\sec \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = - \csc x$
$\csc \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sec x$
$\cot \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan x$
$\sec \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \csc x$
$\csc \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sec x$

三角函数的导数

性质讲的差不多了那我们就上导数吧 awa

$(\tan x)’ = \left(\cfrac{\sin x}{\cos x}\right)’ = \cfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$
$(\cot x)’ = \left(\cfrac{1}{\tan x}\right)’ = - \cfrac{\sec^2 x}{\tan^2 x} = -\csc^2 x$
$(\sec x)’ = \left(\cfrac{1}{\cos x}\right)’ = \cfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x \tan x$
$(\csc x)’ = \left(\cfrac{1}{\sin x}\right)’ = - \cfrac{\cos x}{\sin^2 x} = - \csc x \cot x$

$\uarr \uarr \uarr$ 上面的导数公式给我背熟！！！ $\uarr \uarr \uarr$

反三角函数

嗯~ o(￣▽￣)o 三角函数搞完了就可以看反三角函数啦awa

反三角函数的定义

三角函数是由角求比值, 反三角函数就是由比值求角. 但是, 由于三角函数的周期性, 使得 6 个三角函数在 $\mathbb{R}$ 上都不是单射, 所以都没有反函数. 这样子, 我们就必须对定义域进行限制, 保证反函数的存在性.

怎么限制呢？不妨直接选一个周期或半个周期长的区间, 在保证值域和定义域为 $\mathbb{R}$ 的值域相同的基础上, 尽量靠近原点, 那我们就只需要考虑下面的函数:

$y = \sin x, x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], y \in [-1, 1]$
$y = \cos x, x \in [0, \pi], y \in [-1, 1]$
$y = \tan x, x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), y \in \mathbb{R}$

于是我们就可以定义反正弦、反余弦和反正切函数

$y = \arcsin x, x \in [-1, 1], y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
$y = \arccos x, x \in [-1, 1], y \in [0, \pi]$
$y = \arctan x, x \in \mathbb{R}, y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

反三角函数的图像和性质

单调性

$\arcsin x, \arctan x$ 在其定义域内单调递增
$\arccos x$ 在定义域内单调递减

奇偶性

$\arcsin x, \arctan x$ 都为奇函数
$\arccos x$ 既不是奇函数也不是偶函数

到这里其实反三角函数就了解的差不多咯~
我们还是推荐看B 站宋浩老师的视频awa

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