你能在约瑟夫的山洞里活下来吗？

Wed, 22 Apr 2026 00:00:00 +0000

我的平分三角形问题呢？😡😡😡

在做了在做了✋😭🤚

导入

我叫追风卡洛特, 是河中的超气人娼年小南梁.

今天我参加了一个节目. 节目现场共有1300人, 全部人围成一个大圈, 每个人站的位置有编号 $n,n=1,2,3, \cdots, 1300$. 游戏规则是这样的: 从1号位开始按顺时针方向 $1,2,1,2, \cdots$ 报数, 报到2的人自行出局, 如此循环, 直到剩下最后一个人. 留到最后的人赢得现场的一件礼品, 我看中了一条可爱的洛丽塔裙子😍😍😍🥰🥰🥰🤗🤗🤗😚😚😚🥺🥺🥺. 请问我该站在几号位才能获得礼品？

正片开始

这里描述的是经典的约瑟夫问题.原问题表述如下:

在罗马人占领乔塔帕特后, 39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中, 39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到, 于是决定了一个自杀方式, 41个人排成一个圆圈, 由第1个人开始报数, 每报数到第3人该人就必须自杀, 然后再由下一个重新报数, 直到所有人都自杀身亡为止. 然而Josephus 和他的朋友并不想遵从. 首先从一个人开始, 越过 $k-2$ 个人（因为第一个人已经被越过）, 并杀掉第 $k$ 个人. 接着, 再越过 $k-1$ 个人, 并杀掉第 $k$ 个人. 这个过程沿着圆圈一直进行, 直到最终只剩下一个人留下, 这个人就可以继续活着. 问题是, 给定了和, 一开始要站在什么地方才能避免被处决. Josephus 要他的朋友先假装遵从, 他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置, 于是逃过了这场死亡游戏.

（我这个问题还简化了呢

节目整这一出我也没招了. 迫于无奈, 小南梁打算在心里先列举.

1个人时, 胜者在1号位；
2个人时, 胜者在1号位；
3个人时, 胜者在3号位；
4个人时, 胜者在1号位；
5个人时, 胜者在3号位；
6个人时, 胜者在5号位；
7个人时, 胜者在7号位；
8个人时, 胜者在1号位；
$\cdots$
16个人时, 胜者在1号位

这么一列举, 我们已经找到了规律: 当总人数为 $2^{n},(n\in \mathbb{N})$ 人时, 总是1号位的人赢得胜利.

下面进行证明.

问题解决

设现场有 $2^n$ 人 $(n\in \mathbb{N}^*)$

经过一圈循坏后, 现场剩余 $2^{n-1}$ 人, 而此时, 依旧从1号位的人开始报"1".于是我们可以认为开始了一场有 $2^{n-1}$ 人的游戏, 接着重复上述过程, 直到剩下2个人, 此时容易知道留下的那个人就在1号位.

面对目前1300人的情况, 只需先进行游戏直到剩下离它最近且小于它的 $2^n$ 数, 即 1024 人时, 再以这时报"1"的人的位置为1号位, 便能找到获胜者会站在的位置.

计算, 得该位置为第553号位.

卡洛特站在这个位置上, 如愿以偿得到了她喜欢的小裙裙.🤤🤤🤤

后记

本题改编于河源中学2025年高一年级数学竞赛废稿题目.

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我能在数学选必部分只看了第三册的情况下完成全错排通项公式推导吗？

Sat, 28 Mar 2026 00:00:00 +0000

导入

我叫追风卡洛特，复姓追风，是河中的超气人娼年小南梁.

为了让自己的腿子更健美，我今天约了同学，一共3个人去跑步.我们脱下校服放成一堆就上道了.跑完后，每人随手抓了一件校服就穿上了，匆忙之下，所有人都没穿到自己的衣服.

请问，在此情况下一共有多少种穿衣服的方法？

如果跑步的人一共是4人呢？5人呢？10000人呢？

正片开始

导入中描述的就是典型的全错排问题.首先，有$n$个元素进行排列，每个元素均有自己对应的位置，全错排问题 就是去研究所有元素都不排在原来所对应的位置的情况总数.例如，对于(1,2,3)的全错排情形，有(2,3,1),(3,1,2)共两种.

下面，我们令$n$个元素的全错排排列总数为$a_n$，研究数列${a_n}$的通项公式.

基于容斥原理的归纳推导方法

全错排公式的推导一般有递推数列法和容斥原理法两种.但由于标题说了，选必部分我们只看了第三册，因此此处采用容斥原理的方法.以$n=4$时的全错排为例.

首先，我们需要采用一种正难则反的思想，即先将所有可能都算出来，再减去不合题意的情况.

四种元素的排列共

$$ A_4^4=24 $$

种.

接下来，容斥原理登场.这个原理，我愿称之为“加多了就减，减多了就加，加减交替，一步步地接近真实”.容易发现，在4个元素的全部排列中，包含“有1个元素正确排列”的情况（按照容斥原理的逻辑，应从包含情况较多的集合开始考虑），下面减去

$$ A_4^4-C_4^1A_3^3 $$

其中 $C_4^1$ 代表从4个元素中选出一个正确排列，$A_3^3$ 表示剩余3个元素任意排列.下文类似逻辑不再赘述.

接着，容易发现，在“有1个元素正确排列”的情况中包含“有2个元素正确排列”的情况.也就是说，上面的操作“减多了”，于是下面我们加回去

$$ A_4^4-C_4^1A_3^3+C_4^2A_2^2 $$

同理，在“有2个元素正确排列”的情况中包含“有3个元素正确排列”的情况……以此类推，最终我们得出式子：

$$ A_4^4-C_4^1A_3^3+C_4^2A_2^2-C_4^3A_1^1+1 $$

最后的“1”，表示“4个元素全部排列正确”的情况。

计算该式子，得出答案为9.

列举4种元素的全错排方式如下

(4,3,2,1),(4,1,2,3),(4,3,1,2),(3,4,1,2), (3,4,1,2),(2,4,1,3),(2,1,4,3),(3,1,4,2), (2,3,4,1)

凡9种，与计算结果相符.

此时，展开我们最后得到的式子，得到

$$ 4\times3\times2\times1-4\times3\times2+4\times3-4+1 $$

观察可以发现，多项式中的第一项是$4!$，此后每一项都比前一项少个“尾巴”.

写成阶乘的形式，得到

$$ \frac{4!}{0!}-\frac{4!}{1!}+\frac{4!}{2!}-\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{4!} $$

不难发现，每一项的正负与该项分母的奇偶有关.所以又能写成

$$ \sum_{i=1}^4 \frac{{(-1)^i}4!}{i!} $$

事实上，对于$n$为其他正整数的情况，也能得到这种结构，读者可自行验证.

于是我们得到全错排公式

$$ \boxed{ a_n=\sum_{i=1}^n \frac{{(-1)^i}n!}{i!} } $$

推导完毕！！！(ᕑᗢᓫ∗)

可能存在的疑问

对于4个元素的全错排，3个元素排列正确就意味着4个元素排列正确，为什么重复计算？

这个我认为是容斥原理的计算规则.我们在集合中使用容斥原理时，是按交集的个数递增的顺序计算的，像 $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$（$|X|$表示集合$X$中元素个数）.你可以画Venn图，每一个圆圈代表一个元素的正确排列，就会发现其实我们要求的是“有元素正确排列”的情况，即所有集合的并集的元素个数. 由于针对集合的计算是正确的，所以即便有些集合是空集，算出来的结果也同样是符合真实状况的.

我算出的情况重复了.

应该的，你多次计算了交集的部分，后面减去就好了.

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问题解决

后记

我能在数学选必部分只看了第三册的情况下完成全错排通项公式推导吗？

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基于容斥原理的归纳推导方法

可能存在的疑问